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By Pierre Meunier

ISBN-10: 2364932068

ISBN-13: 9782364932067

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Pm❩ Démonstration : Désignons par G ce groupe ; (G, •) est commutatif et il possède ϕ(pm ) = pm−1 (p − 1) éléments. Par application de la proposition 10 (première étape) du chapitre 2, il suffit de trouver x et y dans G d’ordres respectifs pm−1 et p − 1, car alors on sait que z = xy est d’ordre (p − 1)pm−1 puisque les deux entiers pm−1 et p − 1 sont premiers entre eux. 1˚ pas : L’élément x = p + 1 de G est d’ordre pm−1 . 6. L’ANNEAU ❩/P M ❩ POUR P ❩ - 39 39 PREMIER ET M ≥ 2 ce qui impose : pα+1 (1 + kp) = 0 (mod pm ) ; comme α ≤ m − 2, cela entraîne 1 + kp divisible par l’entier p ; comme cela n’est pas possible, l’ordre de x = p + 1 est bien égal à pm−1 .

Si n = 2m, et si m est impair, ϕ(n) = ϕ(2)ϕ(m) = ϕ(m) est donc pair ; enfin si m est pair, avec m = 2α m , et m impair, on a : ϕ(2m) = 2α ϕ(m ) = 2ϕ(m) est encore pair. 3. RETOUR À L’INDICATRICE D’EULER ◆ où µ est la fonction de Möbius ie celle définie sur ∗ par :   1 si m = 1 0 si m est divisible par un carré > 1 µ(m) =  (−1)q si m est le produit de q facteurs premiers distincts µ(m) = k∧m=1 e 2ikπ m par application de la formule de réciprocité (voir la re- 1≤k≤m marque) à partir de la suite : un = e k∧n=1 2ikπ n .

Par conséquent cet algorithme a un coût polynomial et de ce fait il est très rapide (voir le chapitre 1). 5 Le corps de Frobénius ❋p ❩ ❩ ❩ C’est par définition /p = /(p) où p est premier, ce qui revient encore à dire que l’idéal p = (p) de est maximal. On l’a déjà démontré dans la proposition 15 du chapitre 2, le groupe ( ∗p , •) ie le groupe multiplicatif du corps p est cyclique ; de ce fait pour tout a ¯ ∈ ∗p : a ¯p−1 = 1 et : X p−1 − 1 = (X − a ¯) ❩ ❩ ❋ ❋ a ¯∈❋∗p si bien que dans le corps ❋ ❋p le polynôme X p − X est scindé et à racines simples.

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Arithmétique modulaire et cryptologie by Pierre Meunier


by Charles
4.5

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