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Example text

Die Abbildungen ωi sind nullstellige Operationen bzw. Kon(k) stante), dann kennen wir bereits die ausgezeichneten Elemente ωi ∈ Ak und k¨onnen sie zu einem K-Tupel in A zusammenfassen: (k) ωi := (ωi )k∈K . (k) • Wenn ni = n > 0 ist, dann ist jede Operation ωi auf Ak n-stellig. F¨ ur Vektoren (1) a(1) = (ak .. a(n) : k ∈ K) ∈ A .. (n) = (ak : k ∈ K) ∈ A deﬁnieren wir (k) (1) ωi (a(1) , . . , a(n) ) := b = (bk : k ∈ K) ∈ A, (n) wobei bk := ωi (ak , . . , ak ) ist. (k) In der k-ten Komponente wenden wir also die Operation ωi auf Elemente von Ak an.

Un ist. 14 Anmerkung. 15 Definition. Sei I eine endliche oder unendliche Menge, und sei (Gi )i∈I eine Familie ur die Menge aller x = (xi )i∈I ∈ von abelschen Gruppen. Dann schreiben wir i∈I Gi f¨ i∈I Gi , die supp(x) := {i ∈ I | xi = 0i } endlich ¨ erf¨ ullen (wobei 0i das neutrale Element der Gruppe Gi bezeichnet). Man sieht leicht (Ubung), dass i∈I Gi eine Untergruppe von i∈I Gi ist. Sei (G, +, 0, −) eine abelsche Gruppe, und seien Ui (f¨ ur i ∈ I) Untergruppen von G. F¨ ur x die Summe aller xi mit i ∈ jedes Element x = (xi )i∈I ∈ i∈I Ui bezeichnen wir mit supp(x); f¨ ur x = (0)i∈I sei x = 0.

H. Nebenklasse von N in G), und h bildet diese Nebenklasse auf y ab. 38 Satz. Seien G, H1 , H2 Gruppen, f1 : G → H1 und f2 : G → H2 Epimorphismen, mit Kernen N1 und N2 . Dann gilt N1 ⊆ N2 genau dann, wenn es einen Homomorphismus (oder sogar: Epimorphismus) h : H1 → H2 gibt mit h ◦ f1 = f2 . H1 ≃ G/N1 G H2 ≃ G/N2 Beweis. Die Richtung ⇐“ ist klar. ” Wir deﬁnieren h(f1 (x)) = f2 (x). Wir m¨ ussen nun nur zeigen, dass h wohldeﬁniert ist; die Homomorphie-Eigenschaft von h und die Eigenschaft h ◦ f1 = f2 folgen dann direkt aus der Deﬁnition und der Homomorphiebedingung f¨ ur f1 und f2 (etwa h(f1 (x) · f1 (y)) = h(f1 (x · y)) = f2 (x · y) = f2 (x) · f2 (y) = h(f1 (x)) · h(f1 (y))), ebenso die Surjektivit¨at von h.